부분적분법에서 학생들이 가장 많이 막히는 지점은 계산이 아니라 순서예요. 두 함수의 곱을 적분할 때 어느 쪽을 미분하고 어느 쪽을 적분할지를 잘못 고르면 식이 더 복잡해지기만 해요. 그래서 우선순위를 정하는 규칙이 따로 전해져 내려와요.
이 글에서는 공식이 어디서 나오는지부터 우선순위 규칙, 대표 예제, 규칙이 통하지 않는 경우와 표 방법까지 차례로 정리할게요.
부분적분 공식은 곱의 미분에서 나와요
부분적분은 두 함수의 곱을 적분하는 기법이에요. 곱의 미분법 (fg)’ = f’g + fg’를 양변 적분한 뒤 항을 옮기면 얻어져요. 결과는 ∫f g’ dx = fg − ∫f’ g dx 형태예요.
흔히 쓰는 표기로는 ∫u dv = uv − ∫v du예요. u를 미분해서 du를 얻고, dv를 적분해서 v를 얻는 구조라서, 원래 적분의 두 인자 중 하나는 미분하고 하나는 적분하는 셈이에요. 적분 결과에 새로 생긴 ∫v du가 원래보다 쉬워지도록 u와 dv를 나누는 게 이 기법의 전부예요.
그러니 순서를 잘 고른다는 건 ∫v du를 쉽게 만드는 선택을 한다는 뜻이에요. 다항식은 미분할수록 차수가 내려가고, 로그는 미분하면 유리함수가 되기 때문에 그쪽을 u로 두는 게 유리한 경우가 많아요.
순서 규칙 로다삼지와 LIATE, ILATE
우선순위 규칙은 LIATE 법칙으로 알려져 있어요. Logarithmic(로그), Inverse trigonometric(역삼각), Algebraic(대수·다항), Trigonometric(삼각), Exponential(지수)의 머리글자예요. 앞에 있는 함수일수록 u(미분할 쪽), 뒤에 있는 함수일수록 dv(적분할 쪽)로 두라는 규칙이에요.
이런 우선순위가 존재하는 이유는 로그함수 쪽으로 갈수록 적분이 까다롭기 때문이에요. 반대로 지수나 삼각함수는 적분해도 모양이 거의 그대로라 dv에 두기 좋아요. 그래서 적분이 어려운 것부터 미분 쪽에 몰아 주는 원리예요.
한국 고등학교 교육과정에서는 역삼각함수를 배우지 않아요. 그래서 이 순서를 LATE 법칙이라고 부르고, 대수적 함수라는 표현 대신 다항함수라고 쓰기 때문에 흔히 로다삼지(로그, 다항, 삼각, 지수)로 외워요. 시험 준비용이라면 로다삼지 네 글자만 기억하면 충분해요.
- LIATE: 로그, 역삼각, 다항, 삼각, 지수 순이에요. 역삼각함수를 배우는 대학 과정에서 주로 써요.
- ILATE: 역삼각을 로그보다 앞에 두는 변형이에요. 역삼각과 로그는 우선순위가 유동적이라 문제에 따라 ILATE가 더 잘 맞는 경우도 있어요.
- 로다삼지: 고등학교용 LATE 규칙이에요. 로그, 다항, 삼각, 지수 순으로 앞쪽을 u로 잡아요.
대표 예제 1 다항함수와 지수함수의 곱
∫x eˣ dx를 풀어볼게요. 로다삼지에서 다항이 지수보다 앞이므로 u = x, dv = eˣ dx로 놓아요. 그러면 du = dx, v = eˣ가 돼요.
공식에 넣으면 x eˣ − ∫eˣ dx가 되고, 남은 적분은 바로 eˣ예요. 결과는 x eˣ − eˣ + C, 즉 (x − 1)eˣ + C예요. 미분해서 x eˣ가 나오는지 확인하면 검산이 돼요.
차수가 높아지면 같은 과정을 반복해요. ∫x² eˣ dx는 u = x²로 놓고 한 번 풀면 x² eˣ − 2∫x eˣ dx가 되는데, 뒤의 적분이 방금 푼 문제라서 결과는 x² eˣ − 2x eˣ + 2eˣ + C = (x² − 2x + 2)eˣ + C가 돼요. 다항식의 차수만큼 반복한다는 게 핵심이에요.
대표 예제 2 다항함수와 삼각함수, 로그의 곱
∫x sin x dx는 다항이 삼각보다 앞이라 u = x, dv = sin x dx예요. du = dx, v = −cos x이므로 −x cos x + ∫cos x dx가 되고, 결과는 −x cos x + sin x + C예요.
로그가 섞인 ∫x ln x dx는 로그가 다항보다 앞이라 u = ln x, dv = x dx로 놓아요. du = (1/x)dx, v = x²/2이므로 (x²/2)ln x − ∫(x/2)dx가 되고, 결과는 (x²/2)ln x − x²/4 + C예요. 여기서 u를 다항으로 잡으면 ln x를 적분해야 해서 훨씬 어려워져요.
∫ln x dx처럼 인자가 하나뿐인 경우도 부분적분으로 풀려요. 1을 곱해서 u = ln x, dv = dx로 놓으면 x ln x − ∫dx가 되어 x ln x − x + C예요. 곱이 안 보이는 함수라도 1을 곱한 곱으로 보는 발상이 유용해요.
순환형 적분과 표 방법
∫eˣ sin x dx처럼 지수와 삼각이 같이 있으면 미분을 반복해도 식이 사라지지 않고 원래 모양으로 돌아와요. 이럴 때는 두 번 부분적분하면 원래 적분 I가 양변에 나타나서 I = eˣ(sin x − cos x) − I가 되고, 이항해서 I = eˣ(sin x − cos x)/2 + C를 얻어요. 순환형은 원래 적분을 미지수로 두고 방정식처럼 푸는 게 요령이에요.
표 방법은 반복 부분적분을 빠르게 하는 요령이에요. u쪽은 계속 미분해서 0이 될 때까지 내리고, dv쪽은 계속 적분해서 나열한 다음 대각선으로 곱하고 부호를 +, −로 번갈아 붙여요. ∫x² eˣ dx라면 x², 2x, 2, 0을 미분 열에, eˣ를 적분 열에 반복해서 쓰고 곱하면 앞서 얻은 결과가 바로 나와요.
표 방법은 다항식과 지수·삼각함수의 곱에서 특히 빨라요. 다만 로그나 역삼각처럼 미분해도 0이 되지 않는 함수에는 쓸 수 없어서, 그때는 일반 공식으로 돌아가야 해요.
규칙이 항상 맞는 건 아니에요
LIATE 법칙은 경험칙이라 항상 옳지는 않아요. 특히 로그함수와 역삼각함수는 우선순위가 유동적이어서 문제에 따라 뒤집는 것이 더 나은 경우가 있어요. 규칙을 따르다가 식이 오히려 복잡해지면 u와 dv를 바꿔서 다시 시도하세요.
u와 dv를 정한 뒤에는 ∫v du가 원래 적분보다 쉬운지를 먼저 가늠해 보는 습관이 좋아요. 시험에서는 한 번 잘못 잡았다고 당황하지 말고 바로 반대로 바꿔서 시도하면 시간이 크게 줄어요.
풀이 절차 요약
순서는 이렇게 돼요. 적분할 식이 두 함수의 곱인지 확인하고, 로다삼지 순서로 앞쪽을 u로 잡고, du와 v를 구해 공식에 넣고, 남은 적분이 쉬워졌는지 확인해요. 남은 적분이 아직 곱 형태라면 같은 과정을 반복해요.
마지막에 적분상수 C를 붙이는 걸 잊지 말고, 정적분이라면 uv 항에도 구간 값을 대입해 주세요. 결과를 미분해서 원래 식이 나오는지 확인하면 실수를 대부분 걸러낼 수 있어요.