부분적분법은 두 함수의 곱으로 이루어진 함수를 적분할 때 쓰는 기법이에요. 공식 자체는 짧아서 금방 외울 수 있지만, 실제 문제에서는 어느 쪽을 미분하고 어느 쪽을 적분할지 고르는 데서 대부분 막혀요.
공식이 어디서 나오는지, 우선순위를 정하는 LIATE 법칙과 한국식 표현인 “로다삼지”는 무엇인지, 예제로 어떻게 적용하는지, 법칙이 안 통하는 경우는 어떤 것인지를 차례로 정리해 볼게요.
공식과 유도 과정
부분적분 공식은 다음과 같아요. 부정적분으로 쓰면 ∫u dv = uv − ∫v du이고, 함수 형태로 쓰면 ∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) − ∫f'(x)g(x)dx예요.
이 공식은 곱의 미분법에서 나와요. 곱의 미분법은 (uv)’ = u’v + uv’이므로 양변을 적분하면 uv = ∫u’v dx + ∫uv’ dx가 돼요. 이 식을 ∫uv’ dx에 대해 정리하면 위의 공식이 그대로 나와요. 즉, 부분적분은 새로운 규칙이 아니라 곱의 미분법을 거꾸로 적용한 것이에요.
공식의 의미는 “적분하기 어려운 곱을 uv라는 이미 계산된 항과, 더 쉬운 적분으로 바꾸는 것”이에요. 오른쪽에 새로 생기는 ∫v du가 원래 적분보다 쉬워져야 이 기법이 의미가 있어요.
u와 dv 고르는 기준: LIATE 법칙
LIATE 법칙은 미국 브래들리 대학의 허버트 카수베(Herbert Kasube)가 제안한 우선순위예요. 로그함수(Logarithmic), 역삼각함수(Inverse trigonometric), 다항함수(Algebraic), 삼각함수(Trigonometric), 지수함수(Exponential)의 앞글자를 딴 것이에요.
이 순서에서 앞쪽에 있는 함수를 u로, 뒤쪽에 있는 함수를 dv로 잡으라는 규칙이에요. 왼쪽으로 갈수록 미분하기 쉽고 오른쪽으로 갈수록 적분하기 쉽기 때문이에요. 로그함수로 갈수록 직접 적분하기 까다롭다는 점이 우선순위가 생긴 이유예요.
한국 고등학교 교육과정에서는 역삼각함수를 배우지 않으므로 ‘LATE 법칙’이라고 하고, 로그, 다항, 삼각, 지수의 앞글자를 따서 “로다삼지”로 외우는 경우가 많아요.
기본 예제 풀이
예제 1은 ∫x eˣ dx예요. 다항함수 x와 지수함수 eˣ의 곱이라 다항이 우선이므로 u = x, dv = eˣ dx로 잡아요. 그러면 du = dx, v = eˣ이고 공식에 넣으면 x eˣ − ∫eˣ dx = x eˣ − eˣ + C가 돼요.
예제 2는 ∫x cos x dx예요. 다항이 삼각보다 앞서므로 u = x, dv = cos x dx로 잡아요. du = dx, v = sin x이므로 x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x + C예요.
예제 3은 ∫ln x dx처럼 곱이 안 보이는 경우예요. dv = dx, u = ln x로 잡으면 du = (1/x)dx, v = x가 돼요. 따라서 x ln x − ∫1 dx = x ln x − x + C예요. 곱이 겉으로 드러나지 않아도 1을 곱한 것으로 보고 부분적분을 쓸 수 있다는 점이 이 예제의 요점이에요.
여러 번 적용하는 경우와 순환 적분
다항식의 차수가 높으면 부분적분을 반복해요. ∫x² eˣ dx는 u = x²으로 시작해 x² eˣ − 2∫x eˣ dx가 되고, 남은 적분에 다시 부분적분을 적용하면 돼요. 결과는 x² eˣ − 2x eˣ + 2eˣ + C예요.
지수함수와 삼각함수의 곱인 ∫eˣ sin x dx는 부분적분을 두 번 적용하면 원래 적분이 다시 나타나는 순환 구조가 돼요. 이때는 그것을 좌변으로 옮겨 I = (원래 항들) − I 형태로 정리한 다음 I를 풀어요. 이 유형은 어느 쪽을 u로 잡든 같은 쪽을 두 번 일관되게 고르는 것이 핵심이에요.
- 반복 적용: 다항식의 차수가 n이면 최대 n번 적용하면 다항식이 사라져요.
- 순환 유형: eˣ sin x, eˣ cos x처럼 두 번 적분하면 원래 꼴로 돌아오는 경우에는 방정식처럼 풀어요.
- 곱이 없는 경우: ln x, arctan x 같은 함수는 dv = dx로 잡아 부분적분을 써요.
법칙이 항상 맞지는 않아요
LIATE 법칙은 편리한 경험 규칙이지 수학적 정리가 아니에요. 로그함수와 역삼각함수처럼 같은 그룹 안에서는 우선순위가 유동적이라, 문제에 따라 ILATE 순이 더 나을 수도 있어요.
이 법칙으로 u를 골랐는데 오른쪽 적분이 더 복잡해졌다면 u와 dv를 바꿔서 다시 해 보세요. 부분적분의 성공 기준은 “새로 생기는 ∫v du가 원래보다 쉬운가”이기 때문이에요.
정적분에서의 부분적분과 검산
정적분에서는 ∫ₐᵇ u dv = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du로 쓰고, 경계항 uv를 구간 양 끝에서 계산해요. 부정적분과 달리 적분상수 C가 필요 없고, 경계항을 빼먹는 실수가 가장 흔해요.
검산은 결과를 미분해서 원래 피적분함수가 나오는지 확인하는 방법이 가장 확실해요. 예를 들어 x eˣ − eˣ를 미분하면 eˣ + x eˣ − eˣ = x eˣ가 되어 원래 식으로 돌아와요. 시험에서 시간이 남으면 이렇게 한 번 확인해 보세요.